Живучий — это прилагательное, образованное методом перехода действительного причастия настоящего времени, потерявшего признак действия, как и аналогичные слова:

• плакучая ива;
• кусачая собака;
• висячий замок.

Чтобы понять, как правильно выделить суффиксы в этом слове, рассмотрим запись:

жи-ть — они жи-в-ут — жив-уч-ий.

Морфемный состав слова:

жи-в-уч-ий — корень/суффикс/суффикс/окончание.