Какая часть речи слово «должен» , выясним в соответствии с его общим грамматическим значением и морфологическими признаками.

Слово «должен» часто путают с глаголом, из-за того что оно имеет признаки модальности и чаще всего выступает в роли сказуемого.

Он мне должен пять рублей.
Ты должен позвонить домой, когда приедешь в город.

Начальной формой этого слова является прилагательное «должный», которое обозначает признак предмета. Его лексическое значение несколько иное, чем у рассматриваемого слова.
Слово «должен» является краткой формой прилагательного.
Более подробно узнаем о морфологических и синтаксических признаках этого слова в статье «Какая часть речи слово «должен».