В этом высказывании деепричастие тесно связано со сказуемым «ушел». Главная информация содержится в слове «не пообедав». Это сочетание слов можно заменить по смыслу сочетанием 

ушел голодным.

Слово «не пообедав» не обозначает добавочного действия по отношению к сказуемому.
Запятая не ставится.