Славянская фамилия Белоконь грамматически оформлена как существительное второго склонения с нулевым окончанием (город, дом). Такие фамилии в русском языке склоняются, если принадлежат лицу мужского пола, и не склоняются, если принадлежат женщинам.

Понаблюдаем:

и. п. (кто?) Белоконь Андрей, Белоконь Зинаида
р. п. голос (кого?) Белоконя Андрея, Белоконь Зинаиды
д. п. позвоним (кому?) Белоконю Андрею, Белоконь Зинаиде
в. п. знаю (кого?) Белоконя Андрея, Белоконь Зинаиду
т. п. гордимся (кем?) Белоконём Андреем, Белоконь Зинаидой
п. п. узнаем )о ком?) о Белоконе Андрее, о Белоконь Зинаиде