Какой вопрос поставить к слову с предлогом «за»?

Ваш вопрос касается выяснения, каким членом предложения, дополнением или обстоятельством, является слово с предлогом "за" в предложении. Какой вопрос (за кого? за чем? или куда? где?) выбрать к имени существительному с предлогом "за" ? Разберемся в этом, выяснив, с какой целью задаётся вопрос к интересующему нас слову.

Он спрятался за мишку.

В этом предложении от глагола-сказуемого к слову с предметным значением с предлогом "за", действительно, можно поставить два вопроса:

• спрятался (за кого?) за мишку;
• спрятался (куда?) за мишку.

Если мы хотим выяснить грамматическую форму существительного "за мишку", задаем к нему падежный вопрос:

• спрятался за кого?

С помощью этого вопроса выясним, что одушевленное существительное "за мишку" имеет грамматическую форму винительного падежа. Грамматические формы слов изучает морфология русского языка. Если же нужно определить, каким членом предложения является это слово в падежной форме винительного падежа, то поставим к нему синтаксический вопрос:

• спрятался (куда?) за мишку.

В соответствии с этим исследуемое слово является обстоятельством места в предложении. Аналогично ставим падежный и синтаксический вопрос к существительным с предлогом "за":

• спрятался (за чем?) за деревом, за кустом (творительный падеж существительного);
• спрятался (где?) за деревом, за кустом (обстоятельство).

Запомним, если к слову в грамматической форме с предлогом можно поставить падежный и обстоятельственный вопрос, то, чтобы определить, какой это член предложения, предпочтем  обстоятельственный вопрос. К дополнению невозможно поставить вопросы обстоятельства, а только можно задать падежный вопрос, то есть у дополнения морфологический и синтаксический вопрос совпадает. Сравним:

Я люблю (что?) кофе (дополнение). Я плаваю (в чём? где?) в озере (обстоятельство места).

Разграничиваем морфологию (грамматические формы слов) и синтаксис как учение о предложении, его построении, разбор по членам предложения и пр. С этой точки зрения в соответствии с определённой целью задаем к слову с предлогом падежный или синтаксический вопрос.