Вопрос:
Я восхищаюсь их мужеством.
К какому разряду обстоятельств принадлежит слово «мужеством»?
В учебнике это слово подчеркнуто как обстоятельство. Это не место, не причина, не цель, не время, не характер действия, не мера, не уступка, не условие, не сравнение.
В этом предложении нет обстоятельства. Чтобы определить, какой член предложения слово «мужеством», зададим вопрос от глагола:
восхищаюсь (чем?) мужеством.
Слово «мужеством» — это дополнение.
В учебнике возможна опечатка наборщика.