Выбор грамматической формы в сочетании «подавать улитки» или «подавать улиток» зависит от категории одушевленности/неодушевленности этого имени существительного.

Слово «улитка» обозначает животное и отвечает на вопрос кто?
Это одушевленное имя существительное. Соответственно его форма винительного падежа множественного числа совпадает с формой родительного падежа:

рожки (кого?) улиток — вижу (кого?) улиток.

Глагол «подавать» управляет формой винительного падежа множественного числа этого одушевленного имени существительного.

Правильно:
подавать улиток.