Вопрос:
Как будет правильно:
Работник назначается на должность приказом начальника по представлению и согласованию главным инженером или главного инженера?
Как будет правильно:
Работник назначается на должность приказом начальника по представлению и согласованию главным инженером или главного инженера?
В этой фразе слова «по представлению» и «согласованию» управляют разными падежами существительного «инженер»:
по представлению (кого?) инженера (родительный падеж);
согласованию (с кем?) с инженером (творительный падеж).
Чтобы не допустить синтаксическую ошибку в построении предложения, перефразируем:
Работник назначается на должность приказом начальника по представлению главного инженера и согласованию с ним.