Слово «насколько», являющееся наречием, пишется слитно. Местоимение в падежной форме «на сколько» (частей) пишется раздельно с предлогом.
Слитное написание слова «насколько»
В русском языке слово «насколько» является местоименным наречием. Оно образовано от однокоренного местоимения «сколько» с помощью приставки и суффикса:
Наречие «наско́лько» пишется слитно с приставкой, например:
Наско́лько я был разочарован ее ответом, знают только самые близкие люди.
Это сложноподчиненное предложение, в котором употреблено союзное слово «наско́лько» — местоименное наречие, к которому можно задать синтаксический вопрос как к полноправному члену предложения:
Исследуемое слово не изменяется по падежам и числам. У наречия нет зависимого от него слова. В предложениях, обратите внимание, оно поясняет сказуемое, выраженное глаголом, кратким прилагательным или предикативным наречием. Слово «наско́лько» является второстепенным членом предложения — обстоятельством меры и степени, выраженным местоименным наречием. По смыслу его заменить наречием «как» или синонимичным сочетанием слов «в какой мере», «в какой степени».
Как (в какой мере) я был разочарован её ответом, знают только самые близкие люди.
Примеры предложений со словом «насколько»
Наско́лько свежо в тенистом лесу!
Наско́лько радостно стало всё вокруг от выглянувшего из-за густых облаков яркого солнца!
Наско́лько живописна эта картина?
Наско́лько было поздно что-то предпринимать, никто не знал.
Наско́лько это правда, я так и не узнаю.
Я не уверена, наско́лько полезна эта ягода для малыша.
Кто знает, наско́лько долго установилась морозная погода?
Отсюда с горы мне отчётливо видно, наско́лько сильно ветер треплет макушки деревьев.
Наско́лько это правдоподобно, тебе решать.
Раздельное написание слова «на сколько»
А сейчас рассмотрим иной контекст:
На сколько частей разделим яблоко?
Я не знаю, на сколько частей нужно разделить яблоко.
В этих предложениях употреблено вопросительное и относительное местоимение в форме винительного падежа:
разделим (на что?) на сколько частей.
У местоимения есть зависимое слово — существительное «частей» в форме родительного падежа множественного числа. К заданному вопросу с местоимением «на сколько», предполагается ответ с числительным или словом с количественным значением:
Разделим на сколько частей? — На три, четыре части, много частей.
Это кардинально отличает его от похожего по звучанию наречия «насколько».
Местоимение в падежной форме «на сколько» выступает в роли вопросительного слова или союзного слова в сложноподчиненных предложениях.
Чтобы усвоить раздельное написание местоимения с предлогом, прочтем примеры предложений.
Примеры предложений со словом «на сколько»
На сколько недель охотник ушёл в тайгу, Марфа не знала.
На сколько часов зарядил этот осенний мелкий нудный дождь, как ты думаешь?
На сколько дней мы планируем поехать к морю?
На сколько блюдец разложим эту спелую землянику?
Telegram 
Одноклассники 
VK 
Благодарю, помогли. Всё четко и понятно
Я чуть не умер стараясь это понять
на сколько вы подвижны? похоже слитно пишется, но до конца не уверен.
В этом высказывании слово «насколько» пишется слитно, так как это местоименное наречие, которое имеет обстоятельственное значение «в какой мере».
У него нет зависимого слова (сравним: на сколько дней, на сколько часов).