В русском языке существуют оба слова: существительное «в продолжении» и производный предлог «в продолжение». Выбор правильного написания зависит от того, какой частью речи является это слово.
Чтобы понять, когда слово «в продолжении» пишется с буквой «и» и когда «в продолжение» с буквой «е» в конце, определим в контексте часть речи, к которой принадлежат эти лексемы.
Правописание слова «в продолжении»
Слово «продолжение» обозначает предмет и отвечает на вопрос что? Это существительное среднего рода единственного числа. «Продолжение» — это изменяемое слово. Оно заканчивается на буквосочетание -ие (окончание -е) и поэтому имеет окончание -и в предложном падеже в отличие от традиционного окончания -е существительных второго склонения.
Понаблюдаем:
- и. п. (что?) продолжение
- р. п. нет (чего?) продолжения
- д. п. интерес (к чему?) к продолжению
- в. п. добавить (во что?) в продолжение
- т. п. интересуемся (чем?) продолжением
- п. п. узнать (о чём?) о продолжении
Сравним:
п.п. в продолже́нии, но в по́ле, на коне́.
В продолже́нии романа читатель узнает о дальнейшей судьбе героев.
Узнает (в чём?) в продолже́нии.
Как видим, к слову «в продолжении» можно задать падежный вопрос. Это слово является полноправным членом предложения. Следовательно, это самостоятельная часть речи имя существительное в форме предложного падежа с окончанием -и.
В зависимости от содержания контекста слово «продолжение» с предлогом «в» может выступать также в форме винительного падежа:
В (во что?) продолжение письма дедушка добавил малоизвестные факты о его юности.
Между предлогом и существительным в падежной форме можно вставить определение:
- в захватывающем продолжении романа;
- в длинное продолжение письма.
Чтобы различить эти формы существительного с окончанием -е или -и, зададим соответствующий падежный вопрос.
Написание предлога «в продолжение»
От этого существительного может быть образован однокоренной производный предлог, который пишется всегда с буквой «е» в конце.
В продолжение дороги он хранил упорное молчание.
Хранил молчание (когда? как долго?) в продолжение дороги.
Слово «в продолжение» не изменяется. В одиночку оно не является членом предложения. В русском языке это служебная часть речи предлог, который употребляется для связи слов в предложении. Как производный предлог он используется вместе с существительным в форме родительного падежа и обозначает временной промежуток, в течение которого происходит определенное действие:
- в продолжение разговора;
- в продолжение лета;
- в продолжение спектакля;
- в продолжение сна.
Отыменный предлог «в продолжение» (дороги) пишется в два слова и с буквой «е» в конце. Он синонимичен производному предлогу «в течение», которым его можно заменить, чтобы понять, что это именно предлог со значением времени, а не омонимичная падежная форма однокоренного существительного в форме винительного падежа.
Примеры
В продолже́ние нашего разговора направляю вам свое резюме.
В продолже́ние письма Анна только жаловалась на бытовые неурядицы.
В продолже́ние беседы многие спорные вопросы были выяснены нами до конца.
В продолже́ние осени беспрерывно шли дожди.
Аналогично различаем, как правильно пишутся слова:
- в течении ручья и в течение дня;
- в заключении и в заключение доклада;
- наподобие зонта и на подобие частиц.
Telegram 
Одноклассники 
VK 
В продолже́ние письма Анна только жаловалась на бытовые неурядицы.
Почему Е?
В этом предложении используется временной предлог «в продолжение», который пишется всегда с конечной буквой «е».
Сравним:
В продолжении письма он указал некоторые подробности личной жизни.
А в этом контексте употреблено существительное в форме предложного падежа:
указал (в чем?) в продолжении
Слово «в продолжении» пишется с окончанием -и как существительное среднего рода, оканчивающееся на -ие.
В продолжении действия или процесса изнутри и само по-себе: в продолжении разговора они перешли на спор. В продолжение — для продолжения: в продолжение разговора (как дополнение действия). Здесь и в сравнительном смысле можно написать и сказать по-разному.
Подскажите пожалуйста! В продолжениЕ своего преступного умысла, либо в продолжениИ своего преступного умысла? (Данным словосочетанием начинаются отдельные абзацы документа, в каждом из которых перечисляются действия одного и того же лица.)
В сочетании «в продолжение своего преступного умысла» используем предлог «в продолжение» с абстрактным существительным «умысел», если в контексте можно предлог заменить на слово этой части речи с временным значением «в течение» без искажения смысла высказывания.
Не будет продолжения или продолжение?
В какой падежной форме используется существительное «продолжение», выясним, если обратим внимание, что глагол употреблен с отрицательной частицей «не». В такой речевой ситуации к существительному зададим вопрос
не будет (чего?) продолжения.
При отрицательном сказуемом выбираем форму родительного падежа существительного:
не будет продолжения.
вобше не правильно
Это же элементарно, Ватсон. Aleksey Pogrebnoj-Alexandroff прав. В продолжение дела, он вновь взялся за молоток. В продолжении (как в течении) дня было ни мало событий . В течении (где, в чём), в течение (куда). В отличии от вас он знал, в отличие от вас он сделал…